Aljabar linier

Teknik Komputasi:   disebut juga dengan teknik numerik, jadi teknik yang meliputi bidang yang berurusan dengan pemecahan masalah atau hampir sama dengan notasi solusi atas pemecahan yang diungkapkan dalam urusan matematik.

1.1  Matriks

Adalah suatu larikan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang.

Bentuk umumnya:

                  A =

A adalah notasi matriks sedang a_mn adalah elemen matriks. Deretan horisontal elemen-elemen disebut baris dan deretan vertikal disebut kolom. Indeks m menunjukkan nomor baris elemen berada, indeks n menunjukkan nomor kolom elemen berada, misal a₂₃ artinya elemen a berada pada baris 2 dan kolom 3.

Matriks diatas memiliki m baris dan n kolom, dan disebut juga dimensi m kali n (m´n).

Matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti:

                  B = [ b₁   b₂   ¼  b_n],

disebut dengan vektor baris atau matriks baris. Sedang dengan dimensi kolom n = 1, seperti:

                  C =

Matriks yang semua unsurnya bernilai 0, seperti:

                  A =  disebut dengan matriks nol.

1.      Macam-Macam Matriks

a)      Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n, misal matriks 3´3, adalah:

                  A =

Diagonal yang terdiri dari a₁₁, a₂₂, dan a₃₃ adalah diagonal utama matriks.

MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier, dalam sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.

b)      Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen kecuali diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:

                  A =

c)      Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama besar tetapi bukan nol atau satu.

d)     Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan, seperti bentuk berikut ini:

                  I =

e)      Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen dibawah diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:

            A =

f)       Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen diatas diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:

                  A =

g)      Matriks simetris, bila a_ij = a_ji, misalnya matriks simetris 3´3:

                  A =

h)      Matriks simetris diagonal nol, bila a_ij = -a_ji, misalnya matriks simetris 3´3 yang semua unsur diagonalnya a_ji = 0.

            A =

i)        Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai berikut:

                  A = , disebut juga dengan matriks tridiagonal.

j)        Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya A^T).

      Untuk matriks: A = ,

      maka transposenya (A^T) adalah A^T =

k)      Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi aturan:

      [A]^T . [A] = [A] [A]^T = [I]

l)        Peningkatan matriks

Matriks dapat ditingkatkan dengan menambahkan kolom (kolom-kolom) pada matriks asli, misalnya suatu matriks koefisien berdimensi 3´3,

                  A =

bila matriks ini akan ditingkatkan dengan menambahkan matriks identitas sehingga menjadi matriks 3´6, yang mempunyai bentuk sebagai berikut:

           

bentuk ini lebih menguntungkan bila dilakukan operasi pada dua matriks, dengan demikian operasi tidak dilakukan untuk dua matriks, tetapi hanya pada satu matriks yang ditingkatkan.

2.      Aljabar Matriks

MBS dapat dikenakan suatu operator matematika seperti penjumlahan, pengalian, dan pengurangan.

a)      Kesamaan dua matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama bila elemen-elemen matriks A sama dengan elemen-elemen matriks B dan ukuran keduanya adalah sama, a_ij = b_ji untuk semua nilai i dan j.

b)      Penjumlahan dan pengurangan matriks 

Bila A = [a_ij] dan B = [b_ij] merupakan dua matriks dengan dimensi m´n, maka untuk operasi penjumlahan atau pengurangan (A ± B) dari kedua matriks tersebut, adalah sama dengan matriks C = [c_ij] dengan dimensi m´n, dimana setiap elemen matriks C adalah jumlah (selisih) dari elemen-elemen yang berkaitan dari A dan B.

            C = A ± B = [a_ij ± b_ij] = [c_ij]

Contoh soal:

Jika A =  dan B =

Maka:

A + B =  =

A - B =  =

A + A + A =  +  +  =

c)      Perkalian matriks

Perkalian matriks A dengan skalar g didapat dengan mengalikan semua elemen dari A dengan skalar g, jika gA = C, maka c_ij = ga_ij.

Contoh soal:

Jika A =  dan g = 5, maka  C = gA = 5  =

Perkalian dua matriks A dan B dapat dilakukan bila cacah kolom A sama dengan cacah baris B, dan kedua matriks disebut dengan conformable.

Perkalian suatu matriks 1´m, yaitu A = [ a₁₁   a₁₂   ¼  a_1m] dengan matriks m´1 yaitu:

B =  adalah sebuah matriks C berukuran 1´1, yang berbentuk:

C = [a₁₁b₁₁  +  a₁₂b₂₁  +  ¼  +  a_1mb_m1] atau

[a₁₁  a₁₂  ¼  a_1m]  = [a₁₁b₁₁ +  a₁₂b₂₁  +  ¼  +  a_1mb_m1]

Operasi perkalian adalah baris dengan kolom, tiap elemen dari baris dikalikan dengan elemen dari kolom dan kemudian dijumlahkan.

Contoh soal:

[2   3   4]  = [2(1) + 3(-2) + 4(3)] = [2 + (-6) + 12] = [8]

Perkalian antara matriks m´p, yaitu A = [a_ij] dan matriks p´n, yaitu B = [b_ij] adalah matriks m´n, yaitu C = [c_ij] dengan nilai c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_ipb_pj = a_ikb_kj.

Dimana untuk i = 1, 2, …, m dan  j = 1, 2, …, n

Contoh soal:

A = ,  B =  dan X =

AB =  =

BA =  =

AX =  =

1.2  Transformasi Elementer

Transformasi elementer pada sebuah matrik tidak mengubah baik orde maupun bentuk matriks.

Transformasi elementer ialah:

a)      Pertukaran tempat baris ke-i dengan baris ke-j diberi simbol Hij, pertukaran tempat kolom  ke-i  dengan kolom ke-j diberi simbol  Kij.

Contoh:  [A] =       H₃₂ → [A] =     K₃₁ → [A] = 

b)      Perkalian setiap unsur baris ke-i dengan bilangan skalar k (k ≠ 0) diberi simbol Hi(k) perkalian setiap unsur kolom ke-i dengan bilangan skalar k (k ≠ 0) diberi simbol Ki(k)

Contoh soal:  [A] =  

H_{2 (2)}  → [A] =    setiap baris ke-2 dikalikan dengan 2

K_{3 (-2)}  → [A] =   setiap kolom ke-3 dikalikan dengan -2

c)      Penambahan pada setiap unsur baris ke-i dengan k kali (k skalar) unsur yang sesuai dari baris ke-j diberi simbol  Hij(k).

Penambahan unsur yang sesuai dari kolom j pada setiap unsur kolom ke-i dengan k kali (k skalar) diberi simbol Kij(k).

Contoh soal:  [A] =  

H_{32 (-1)}  → [A] =      baris ke-2 dikalikan (-1) lalu dijumlahkan baris ke-3.

K_{31 (1)} → [A] =  kolom ke-1 dikalikan (1) lalu dijumlahkan kolom ke-3.

TUGAS:

Selesaikan dengan menggunakan metode transformasi elementer berdasarkan baris (H) menjadi Matriks Segitiga Bawah (MSB):            [A] =  →

1.3  Determinan

Adalah sekumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara teratur dalam sebuah bujur sangkar, yang letaknya horisontal dan vertikal serta mempunyai satu harga tertentu.

1.   Sifat-sifat determinan

a)      Apabila semua unsur dalam suatu baris atau suatu kolom sama dengan nol, maka harga determinan = 0

            D =  = 0                                         D =   = 0

b)      Harga determinan tidak berubah, bila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris.

               D =  = 1                                              D =  = 1

c)      Pertukaran tempat diantara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda determinan.

               D =  = 1          → ditukar baris           D =  = –1

                                                   → ditukar kolom         D =  = –1

d)     Bila suatu determinan terdapat dua baris atau kolom yang sama (identik), maka harga determinan itu = 0

               D =  = 0                                        D =  = 0

             Ada 2 baris yang sama                                   Ada 2 kolom yang sama

e)      Bila semua unsur sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor tidak bernilai 0, maka harga determinan dikalikan dengan bilangan itu.

               D =  = 1          ↔ baris 1 dikalikan 2 → D =  = 6 – 4 = 2

                                                   ↔ kolom 1 dikalikan 2 → D =  = 6 – 4 = 2

f)       Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang baris atau kolom dapat dikalikan dengan sebuah faktor (≠ 0) dan menambahkannya pada atau mengurangi dari sembarang baris (kolom) yang lain.

               D =  = –2        ↔ ekspansi baris H_{21 (-2)}  D =  = 

                                                                                            D =  = –2

                                                   ↔ ekspansi kolom K_{21 (-1)}  D =  = –2

2.   Perhitungan nilai determinan

a)      Metode Sarrus

Metode ini hanya berlaku untuk menghitung harga determinan tingkat atau orde tiga saja.

D =              

         D = (a₁₁ . a₂₂ . a₃₃) + (a₁₂ . a₂₃ . a₃₁) + (a₁₃ . a₂₁ . a₃₂) – (a₁₃ . a₂₂ . a₃₁) –

          (a₁₁ . a₂₃ . a₃₂) – (a₁₂ . a₂₁ . a₃₃)

Contoh soal:

   [A] =     → →   

= (1.(– 3).1) + (2.1.(– 2)) + ((– 4).1.4) – ((– 4).(– 3).(–2)) – (1.1.4) – (2.1.1)

   = (– 3) + (– 4) + (– 16) + 24 – 4 – 2

   = – 5.

b)      Metode Chio

Harus dibuat MSA

H21 (1) ~ H31 (-2)

A =                        

          =  Harga determinannya menjadi = 1.1.(– 7) =  – 7 (Kalikan diagonal utamanya)

H21 (2) ~ H31 (3) ~ H41 (–1)

Contoh soal:

A =                        

Karena tidak boleh ada bilangan 0 pada a₂₂ maka diadakan pertukaran baris dengan baris (baris ke 2 dan ke 3 ditukar)

Setelah diadakan pertukaran baris, maka dikalikan (–1).

H42 (–1) ~

(–1)       → →                     (–1)  

H43 ~

(–1)      → →                    (–1)

[A] = (–1) . 1 . (–1) . 2 .  =  15.

c)      Metode minor (ekspansi)

Jika di dalam suatu determinan tingkat atau orde n, elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j diambil (dihapus) terdapat suatu determinan tingkat (m–1), simbol yang ditulis Mij.

Contoh soal:

1).  A =       → →   Minor (M₂₃) =

            → →   Minor (M₄₁) =       

2). D = 

Harga determinannya adalah:

D = [(a₁₁ . a₂₂ . a₃₃) + (a₁₂ . a₂₃ . a₃₁) + (a₁₃ . a₂₁ . a₃₂)] –

 [(a₁₃ . a₂₂ . a₃₁) + (a₁₁ . a₂₃ . a₃₂) + (a₁₂ . a₂₁ . a₃₃)]

   = [a₁₁(a₂₂ . a₃₃ – a₂₃ . a₃₂)] – [a₁₂ (a₂₁ . a₃₃ – a₂₃ . a₃₁)] +

   [a₁₃ (a₂₁ . a₃₂ – a₂₂ . a₃₁)]

= a₁₁   –  a₁₂   +  a₁₃

=  (a₁₁ . M₁₁)  –  (a₁₂ . M₁₂) +  (a₁₃ . M₁₃)

1.4  Invers Matriks

Pada aljabar biasa bila terdapat hubungan antara dua besaran a dan x ialah kebalikan.

Contoh soal:

1)      Menggunakan determinan, hitung [A]^-1 bila [A] = 

Penyelesaian:

Nilai determinan A = |A| = –17.

Dengan algoritma [A]^-1 =   adj [A]

A₁₁ (baris 1 dan kolom 1 ditutup)  =  (+1)  =  –3

A₁₂  =  (–1)  = 10,   A₁₃  = (+1)  = 2,  A₂₁ =  (–1)  = 2

            A₂₂  = (+1)  = –18,  A₂₃  = (–1)  = –7,  A₃₁  = (+1)  = – 8

A₃₂  = (–1)  = 21,   A₃₃  = (+1)  = 11

            [A] =  → →  [A] =   

     → →  [A]^T =

[A]^-1 =   adj [A]  → →  [A]^-1 =    → →  = 

2)      Menggunakan transformasi elementer, hitung [A]^-1 bila [A] =

       ~

Penyelesaian:

H1 ~   H21 (-1)

        ~ 

H12 ~

H2 ~

                    =                  =

                   

Tugas:

Hitung [A]^-1 bila [A] = , dengan:

a)      Menggunakan determinan, dengan algoritma [A]^-1 =   adj [A]

b)      Menggunakan transformasi elementer, dengan algoritma  ~

1.5  Metode Invers Matriks

Persamaan umum:

                        a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ¼ + a_1n x_n = b₁

                        a₂₁ x₁+ a₂₂ x₂  + ¼ + a_2n x_n = b₂

                                                               _:

                                                               _:

                                a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + ¼ + a_nn x_n = b_n

dapat ditulis dalam bentuk matriks, menjadi sebagai berikut:

 atau AX = B

dengan:    A adalah matriks koefisien n´n.

                X adalah kolom vektor n´1 dari bilangan tak diketahui.

                B adalah kolom vektor n´1 dari konstanta.

Nilai pada vektor kolom X dapat dicari dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan dengan matriks inversi, yaitu A^-1AX = A^-1B, karena A^-1A = I, maka nilai-nilai dari elemen X = A^-1B,

Contoh soal:

Diketahui suatu persamaan, yaitu:   2x + y = 4

                                                               2x + 3y = 8

Maka persamaan diatas dapat ditulis =  +  =   → A + X = B → X =

                                                                    A           X         B

Untuk nilai A =  →  [A]^-1 =   adj [A] =  =

Sehingga nilai dapat dicari yaitu:  = ,

Jadi nilai x = 1 dan y = 2.